\xiti

\begin{xiaotis}

\xiaoti{写出数列的一个通项公式，使它的前 $4$ 项分别是下列各数：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.5}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$3$，$6$，$9$，$12$；} & \xiaoxiaoti{$0$，$-2$，$-4$，$-6$；} \\
        \xiaoxiaoti{$\dfrac{2}{1}$，$\dfrac{3}{2}$，$\dfrac{4}{3}$，$\dfrac{5}{4}$；} & \xiaoxiaoti{$-\dfrac{1}{2 \times 1}$，$\dfrac{1}{2 \times 2}$，$-\dfrac{1}{2 \times 3}$，$\dfrac{1}{2 \times 4}$；} \\
        \xiaoxiaoti{$1$，$\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{1}{9}$，$\dfrac{1}{16}$；} & \xiaoxiaoti{$\sqrt[3]{1}$，$-\sqrt[3]{2}$，$\sqrt[3]{3}$，$-\sqrt[3]{4}$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{已知无穷数列 $1 \times 2$，$2 \times 3$，$3 \times 4$，$4 \times 5$，$\cdots$，$n (n + 1)$，$\cdots$ 。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{求这个数列的第 $10$ 项，第 $31$ 项及第 $48$ 项；}

    \xiaoxiaoti{$420$ 是这个数列中的第几项？}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}
\begin{xiaoxiaotis}

    \vspace{-1.6em} \begin{minipage}{0.9\textwidth}
    \xiaoxiaoti{已知数列 $\{a_n\}$ 的第 $1$ 项是 $1$，第 $2$ 项是 $2$，以后各项由公式
        $a_n = a_{n - 2} + a_{n - 1}$ 给出。写出这个数列的前 $10$ 项；}
    \end{minipage}

    \xiaoxiaoti{用上面的数列，通过公式 $b_n = \dfrac{a_n}{a_{n + 1}}$ 构造一个新的数列 $\{b_n\}$，
        并写出这个数列的前 $10$ 项。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是 $a_n = -2n + 3$。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{计算 $a_2 - a_1$，$a_3 - a_2$，$a_4 - a_3$，$a_5 - a_4$；}

    \xiaoxiaoti{计算 $a_{n + 1} - a_n$；}

    \xiaoxiaoti{证明这个数列是一个等差数列，并求出它的首项与公差。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}
\begin{xiaoxiaotis}

    \vspace{-1.6em} \begin{minipage}{0.9\textwidth}
    \xiaoxiaoti{一个等差数列的第 $1$ 项是 $5.6$，第 $6$ 项是 $20.6$，求它的第 $4$ 项；}
    \end{minipage}

    \xiaoxiaoti{一个等差数列的第 $3$ 项是 $9$，第 $9$ 项是 $3$，求它的第 $12$ 项。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{求下列各题中两数的等差中项：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$647$ 与 $895$；}

    \xiaoxiaoti{$-180$ 与 $360$；}

    \xiaoxiaoti{$\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ 与 $\dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$；}

    \xiaoxiaoti{$(a + b)^2$ 与 $(a - b)^2$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}
\begin{xiaoxiaotis}

    \vspace{-1.6em} \begin{minipage}{0.9\textwidth}
    \xiaoxiaoti{下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码（表示鞋底长，单位是厘米）；\\
        $21$，$21\dfrac{1}{2}$，$22$，$22\dfrac{1}{2}$，$23$，$23\dfrac{1}{2}$，$24$，$24\dfrac{1}{2}$，$25$。\\
        这些尺码是否成等差数列？如果是，公差是多少？
    }
    \end{minipage}

    \xiaoxiaoti{全国统一鞋号中成年男鞋共有 14 种尺码，其中最小的尺码是 $23\dfrac{1}{2}$（厘米），
        各相邻的两个尺码都相差 $\dfrac{1}{2}$ 厘米。把全部尺码从小到大列出。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}
\begin{xiaoxiaotis}

    \vspace{-1.6em} \begin{minipage}{0.9\textwidth}
    \xiaoxiaoti{在 $12$ 与 $60$ 之间插入 $3$ 个数，使它们同这两个数成等差数列；}
    \end{minipage}

    \xiaoxiaoti{在 $8$ 与 $36$ 之间插入 $6$ 个数，使它们同这两个数成等差数列。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{在通常情况下，从地面到 $1$ 万米高空，高度每增加 $1$ 千米，气温就下降某一固定数值。
    如果 $1$ 千米高度的气温是 $8.5$ ℃，$5$ 千米高度的气温是 $-17.5$ ℃ ，
    求 $2$ 千米、 $4$ 千米及 $8$ 千米高度的气温。}


\xiaoti{安裝在一个公共轴上的 $5$ 个皮带轮的直径成等差数列，其中最大的与最小的皮带轮
    的直径分别是 $216$ 毫米与 $120$ 毫米，求中间三个皮带轮的直径。}

\xiaoti{一种车床变速箱的 $8$ 个齿轮的齿数成等差列， 其中首末两个齿轮的
    齿数分别是与 $24$ 与 $45$，求其余各齿轮的齿数。}


\xiaoti{}
\begin{xiaoxiaotis}

    \vspace{-1.6em} \begin{minipage}{0.9\textwidth}
    \xiaoxiaoti{在正整集合中有多少个三位数？求它们的和。}
    \end{minipage}

    \xiaoxiaoti{在三位正整数的集合中有多少个数是 $7$ 的倍数？求它们的和。}

    \xiaoxiaoti{求等差数列 $13$，$15$，$17$，$\cdots$，$81$ 的各项的和。}

    \xiaoxiaoti{求等差数列 $10$，$7$，$4$，$\cdots$，$-47$ 的各项的和。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 $\{a_n\}$ 的有关末知数：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$a_1 = 20$，$a_n = 54$，$S_n = 999$，求 $d$ 及 $n$；}

    \xiaoxiaoti{$d = \dfrac{1}{3}$，$n = 37$，$S_n = 629$，求 $a_1$ 及 $a_n$；}

    \xiaoxiaoti{$a_1 = \dfrac{5}{6}$，$d = -\dfrac{1}{6}$，$S_n = -5$，求 $n$ 及 $a_n$；}

    \xiaoxiaoti{$d = 2$，$n = 15$，$a_n = -10$，求 $a_1$ 及 $S_n$；}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}
\begin{xiaoxiaotis}

    \vspace{-1.6em} \begin{minipage}{0.9\textwidth}
    \xiaoxiaoti{某等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是 $a_n = 3n - 2$，求它的前 $n$ 项的和的公式。}
    \end{minipage}

    \xiaoxiaoti{某等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和的公式是 $S_n = 5n^2 + 3n$，求它的前 $3$ 项，并求它的通项公式。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片 $21$ 块，往下每一层多铺 $1$ 块，
    斜面上铺了瓦片 $19$ 层，共铺瓦片多少块？}


\xiaoti{一个剧场设置了 $20$ 排座位，第一排有 $38$ 个座位，往后每一排都比前一排多 $2$ 个座位。
    这个剧场一共设置了多少个座位？}

\xiaoti{一个等差数列的第 $6$ 项是 $5$， 第 $3$ 项与第 $8$ 项的和也是 $5$。求这个等差数列前 $9$ 项的和。}

\xiaoti{三个数成等差数列，它们的和等于 $18$， 它们的平方和等于 $116$， 求这三个数。}

\xiaoti{某多边形的周长等于 $158cm$， 所有各边的长成等差数列，最大的边长等于 $44cm$ ， 公差等于 $3cm$。求多边形的边数。}

\xiaoti{一个梯形两条底边的长分别是 $12cm$ 与 $22cm$，将梯形的一条腰 $10$ 等分，过每个分点画平行于梯形底边的直线，
    求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和。}

\end{xiaotis}




